L'essentiel
Non : son objectif porte sur la journée, avant frais et dépenses. Sur un an, les tableaux d'estimation que ProShares publie ne se retrouvent pas sur trois fois la performance de l'indice. Les 390 cellules des deux tableaux se retrouvent, à l'arrondi de publication près, par la forme fermée (1 + r)³ × exp(−3σ²) − 1, hors dividendes, hors frais du fonds et hors coût du levier. Dans celui du Statement of Additional Information, la colonne de volatilité nulle vaut le rendement brut de l'indice élevé au cube, et la colonne intitulée trois fois l'indice n'est qu'un repère à côté.
- L'objectif est quotidien, et avant frais. TQQQ vise, selon son prospectus résumé, trois fois la performance quotidienne du Nasdaq-100, et ProShares écrit que le fonds ne cherche pas à atteindre cet objectif sur une autre période qu'une journée.
- Sur la ligne d'indice inchangé, la cellule va de -3,0 % à -95,0 %. Selon la volatilité annualisée de l'indice retenue : -3,0 % à 10 %, -17,1 % à 25 %, -52,8 % à 50 %, -81,5 % à 75 %, -95,0 % à 100 %.
- Les 390 cellules des deux tableaux se retrouvent par une forme fermée. À l'arrondi de publication près, par (1 + r)³ × exp(−3σ²) − 1, hors dividendes, hors frais du fonds et hors coût du levier ; ProShares écrit elle-même que ces valeurs ne représentent pas des performances réalisées.
Un ETF à levier x3 ne vise pas trois fois la performance de son indice sur un an. Il vise trois fois sa performance chaque jour. La différence n’est pas un détail de documentation : elle change la grandeur que les tableaux de l’émetteur donnent. Sur un an, leurs valeurs ne se retrouvent pas à partir de trois fois la performance de l’indice. Elles se retrouvent à partir du rendement brut de l’indice élevé au cube, corrigé d’un facteur qui ne dépend que de la volatilité de l’indice.
Quatre pages traitent déjà ce sujet en ligne. En français comme en anglais : Avenue des Investisseurs, le wiki Bogleheads, Leveraged-etfs.com et Leveragedposition.com. Je ne décris pas leur contenu et je ne les évalue pas : ce sont des pages web, que rien ne fige et dont je ne peux pas garantir l’état au moment où vous me lisez. Je les nomme pour que vous puissiez comparer par vous-même, pas comme des sources de cet article.
Ce que le prospectus annonce, mot pour mot
Ce que le prospectus du produit annonce. TQQQ vise, selon son prospectus résumé, « daily investment results, before fees and expenses, that correspond to three times (3x) the daily performance of the Nasdaq-100® Index ». Deux qualificatifs sont dans la phrase et comptent autant que le chiffre. L’objectif est quotidien. Il s’entend avant frais et dépenses. La journée de référence a elle-même une définition écrite : elle se mesure d’un calcul de valeur liquidative au suivant.
ProShares borne ensuite l’objectif elle-même :
« The Fund does not seek to achieve three times (3x) the daily performance of the Index (the “Daily Target”) for any period other than a day. »
Je lis cette phrase pour ce qu’elle fait, et pas plus. Elle borne un objectif. Elle ne prescrit aucune durée de détention.
Ce que le prospectus du produit annonce. Le même document écrit d’ailleurs que le porteur peut détenir ses parts plus d’une journée s’il estime que cela correspond à ses objectifs et à sa tolérance au risque. Et il ajoute que les rendements annuels sont publiés par obligation et ne doivent pas être interprétés comme suggérant que le fonds devrait ou ne devrait pas être détenu sur des périodes plus longues. L’émetteur refuse de trancher, dans un sens comme dans l’autre.
Ce que le prospectus du produit annonce. Le prospectus résumé publie deux listes de facteurs, symétriques et consécutives. La première énumère ce qui contribue à un résultat pire que le Daily Target : des gains ou pertes plus faibles de l’indice, une volatilité plus élevée de l’indice, et des durées de détention plus longues quand ces facteurs s’appliquent. La seconde énumère ce qui contribue à un résultat meilleur : des gains ou pertes plus importants, une volatilité plus basse, et, là aussi, des durées de détention plus longues quand ces facteurs s’appliquent. Couper la première de la seconde fait dire au document une thèse à sens unique qu’il n’écrit pas.
390 cellules, et cinq conditions pour que le recalcul les retrouve
Ce que le prospectus du produit annonce. Le prospectus résumé publie, page 5, un tableau intitulé « Estimated Fund Returns ». Il croise treize niveaux de performance annuelle de l’indice, de -60 % à +60 % par pas de 10 points, avec cinq niveaux de volatilité annualisée de l’indice : 10, 25, 50, 75 et 100 %. Soit 65 cellules, à côté d’une colonne de repère intitulée « Three times (3x) the One Year Index », qui vaut exactement trois fois la performance de l’indice sur les treize lignes. Le Statement of Additional Information en publie un second, page 43, plus fin : vingt-cinq lignes de performance par pas de 5 points, treize colonnes de volatilité de 0 % à 60 %. Soit 325 cellules.
ProShares écrit elle-même que ces valeurs ne représentent pas des performances réalisées : « It does not represent actual returns. » J’ajoute pour ma part qu’elles ne constituent pas davantage une prévision, puisqu’elles croisent des hypothèses de performance et de volatilité choisies pour couvrir une grille, et non attendues. Et elle inscrit trois neutralisations en note. Pas de dividendes sur les titres de l’indice. Pas de frais du fonds. Des taux d’emprunt et de prêt à zéro pour obtenir le levier. Le titre du tableau du Statement of Additional Information pose lui-même « Before Fund Fees and Expenses and Leverage Costs ».
Un détail de rédaction mérite d’être relevé. ProShares écrit que si ces trois éléments étaient inclus, la performance du fonds « would be different from that shown ». Pas « would be lower ». La direction de l’effet n’est pas donnée par le document, et je ne la donnerai pas non plus.
Ce que le prospectus du produit annonce. La volatilité employée dans le tableau du Statement of Additional Information a une définition écrite, pages 39 et 40, et elle est précise :
« the standard deviation of the natural logarithm of one plus the benchmark return (calculated daily), multiplied by the square root of the number of trading days per year (assumed to be 252) »
C’est l’écart-type du logarithme naturel de un plus le rendement du benchmark, calculé quotidiennement, multiplié par la racine carrée du nombre de séances par an, supposé égal à 252. C’est la volatilité de la référence, celle de l’indice. Pas celle du fonds.
La colonne à volatilité nulle donne l’indice au cube, pas trois fois l’indice
Ce que les données établissent, mon calcul. Le tableau du Statement of Additional Information commence par une colonne de volatilité 0 %. Sur ses vingt-cinq lignes, cette colonne vaut exactement le rendement brut de l’indice élevé au cube, soit (1 + r)³ - 1. Aux deux extrémités : 0,4³ - 1 donne -93,6 % pour un indice à -60 %, et 1,6³ - 1 donne +309,6 % pour un indice à +60 %.
C’est le point que je retiens de tout ce dossier. Le même tableau imprime aussi une colonne intitulée « Three Times (3x) Index Performance », et elle vaut exactement 3r sur les vingt-cinq lignes. Mais c’est une colonne de repère. Elle n’entre pas dans la forme qui restitue les cellules.
Ce que la méthode interprète. Les deux colonnes ne répondent pas à la même question, et il vaut mieux savoir laquelle on pose. Se mesurer à la colonne 3x, c’est se mesurer à trois fois la performance de l’indice. Se mesurer à la colonne de volatilité nulle, c’est se mesurer au rendement brut de l’indice élevé au cube. Les documents d’enregistrement emploient les deux grandeurs, le prospectus statutaire raisonnant en prose sur le multiple quand le tableau du Statement of Additional Information calcule le cube. Et l’année 2022, plus bas, montre que le signe du constat change selon celle qu’on retient.
Ce que les données établissent, mon calcul. La fonction, elle, se recalcule. En notant r le rendement annuel brut de l’indice sur un an et σ sa volatilité annualisée au sens qui vient d’être rappelé, chaque valeur publiée est exactement l’arrondi au dixième de point de la forme fermée (1 + r)³ × exp(-3σ²) - 1, sur les 65 cellules du prospectus résumé comme sur les 325 cellules du Statement of Additional Information, sans une exception. L’écart entre les deux n’est donc rien d’autre que celui de l’arrondi de publication : 0,0230 point en moyenne et 0,0491 au maximum sur les 65 cellules, 0,0248 point en moyenne et 0,0500 au maximum sur les 325.
Deux vérifications que vous pouvez refaire de tête. Pour un indice inchangé et 50 % de volatilité, exp(-3 × 0,50²) vaut 0,4724, soit -52,8 %, la valeur publiée. Pour un indice en hausse de 10 % et 45 % de volatilité, 1,1³ × exp(-3 × 0,45²) vaut 0,7250, soit -27,5 %, là encore la valeur publiée.
Ce que la méthode interprète. Cette concordance ne tient qu’à des conditions précises, et les voici. σ doit être la volatilité annualisée de l’indice au sens exact rappelé plus haut : un écart-type de rendements simples ne redonne pas le tableau. L’horizon doit valoir un an et s’entendre en années. La base doit être le rendement brut de l’indice élevé au cube, pas trois fois la performance de l’indice. La tolérance admise est celle de l’arrondi de publication. Et les trois neutralisations s’appliquent, ce qui veut dire qu’une cellule n’est jamais une performance nette. S’y ajoute une hypothèse que la forme porte sans que le tableau l’affiche : la volatilité y est constante sur tout l’horizon.
Je m’en tiens à cette identité arithmétique, et je ne dis pas qui reprend quoi à qui. Aucun document ProShares que j’ai pu atteindre ne cite Cheng ni Madhavan, et rien dans ces documents n’expose la méthode par laquelle l’émetteur calcule ses cellules. La direction que j’aurais spontanément supposée n’est donc pas établie, et l’inverse ne l’est pas davantage. Je n’établis rien sur la parenté entre cette forme fermée et la littérature.
Ce que la volatilité fait à l’intérieur du tableau
Ce que le prospectus du produit annonce. Prenons la ligne d’indice inchangé du prospectus résumé, celle où l’indice termine l’année hypothétique à son point de départ.
| Volatilité annualisée de l’indice | 10 % | 25 % | 50 % | 75 % | 100 % |
|---|---|---|---|---|---|
| Indice inchangé sur un an | -3,0 % | -17,1 % | -52,8 % | -81,5 % | -95,0 % |
| Indice à +10 % sur un an | +29,2 % | +10,3 % | -37,1 % | -75,4 % | -93,4 % |
Sur la seconde ligne, la colonne de repère du même tableau donne +30 %, soit trois fois la performance de l’indice. À 25 % de volatilité, la cellule vaut déjà +10,3 %. À 50 %, elle passe sous zéro.
ProShares l’écrit du reste en toutes lettres, dans le même document :
« You may lose money when the Index return is flat (i.e., close to zero) and you may lose money when the Index rises. »
Le document dit que cela peut arriver. Il n’attache à ces deux cas ni fréquence ni probabilité, et je n’en attacherai pas non plus.
Ce que le prospectus du produit annonce. Le prospectus statutaire nomme la cause en prose : la composition, « which exists in all investments ». Le document énonce les deux sens dans le même paragraphe :
« In general, during periods of higher index volatility, compounding will cause longer term results to be less than the multiple (or inverse multiple) of the return of the index. This effect becomes more pronounced as volatility increases. Conversely, in periods of lower index volatility, fund returns over longer periods can be higher than the multiple of the return of the index. »
Une remarque sur la référence employée ici : c’est le multiple, c’est-à-dire trois fois la performance de l’indice, et pas l’indice élevé au cube. Les deux grandeurs de comparaison coexistent dans les documents d’enregistrement.
Un exemple chiffré simplifié, pour voir le mécanisme
Illustration mathématique, pas une donnée de marché observée. Prenons un indice qui gagne 10 % un jour, puis perd 10 % le lendemain. Sa performance cumulée sur ces deux séances est de -1 % (1,10 × 0,90 = 0,99). Un ETF x3 sur ce même indice gagne 30 % le premier jour, puis perd 30 % le second : 1,30 × 0,70 = 0,91, soit -9 %.
Les deux références se lisent directement sur cet exemple. Trois fois la performance de l’indice donne -3 %. Le rendement brut de l’indice élevé à la puissance 3 vaut 0,99³ = 0,9703, soit -2,97 %. Le fonds, lui, termine à -9 %. L’écart ne tient pas à la direction finale de l’indice, mais au chemin parcouru pour y arriver. Cet exemple est le mien : il illustre le mécanisme, il ne chiffre aucun produit réel.
Année civile 2022 : le fonds à 18,10 points au-dessus de trois fois l’indice
Ce que les données établissent, mon calcul. ProShares publie, dans la série « Value Based on a $10,000 Investment » de son rapport annuel, quatre valeurs en dollars et pas des pourcentages : 190 252,50 au 31 décembre 2021 et 39 904,32 au 31 décembre 2022 pour le fonds, 38 111,3035 et 25 772,0631 pour l’indice sur les mêmes dates. J’en tire -79,03 % pour TQQQ sur l’année civile 2022, et -32,38 % pour le Nasdaq-100. Ces deux pourcentages sont les miens.
Les quatre valeurs viennent de la même table du même rapport annuel. Aucun cours de bourse n’entre dans le calcul qui suit. Trois fois la performance de l’indice donne -97,13 %, et le fonds se situe 18,10 points au-dessus. Le rendement brut de l’indice élevé au cube donne -69,08 %, et le fonds se situe 9,95 points au-dessous.
Ce que le prospectus du produit annonce. Le prospectus résumé publie de son côté, page 7, la performance civile 2022 du fonds sous forme de pourcentage, dans son histogramme des rendements annuels : -79,03 %. Mon calcul et son chiffre coïncident, ce qui est attendu puisque mon calcul repart de la série que le fonds publie lui-même.
Ce que la méthode interprète. Une précision d’arithmétique, parce que le calcul ne retombe pas sur ses pieds si on le refait avec les deux chiffres arrondis. Les performances se calculent sur les valeurs en dollars, non arrondies : l’indice fait -32,3769 %, dont le triple vaut -97,1306 %. Multiplier 32,38 par 3 donnerait 97,14 et un écart de 18,11 points, mais ce serait soustraire l’une de l’autre des valeurs déjà arrondies, et non refaire le calcul.
Ce que la méthode interprète. Je m’arrête à ce constat, volontairement. Avec ce seul dossier, attribuer l’un ou l’autre de ces écarts à une cause serait spéculatif : chacun agrège au minimum les six facteurs que l’émetteur énumère lui-même, l’écart entre la trajectoire réellement suivie en 2022 et la volatilité constante que suppose la forme fermée, les frais du fonds et le coût de financement du levier. Je préfère un constat mesurable à une explication invérifiable, et je ne vais pas trancher pour rendre le paragraphe plus satisfaisant.
Ce que le prospectus du produit annonce. Ces six facteurs, l’émetteur les énumère dans son prospectus statutaire, page 428 : volatilité du benchmark, performance du benchmark, durée, taux de financement associés aux dérivés, autres frais du fonds, et dividendes ou intérêts versés sur les titres du benchmark. Les tableaux d’estimation n’en illustrent que deux.
Le rebalancement quotidien du portefeuille, mécanisme à l’origine de la composition, ne figure sur aucune des deux listes : ni celle-ci, ni la liste distincte à quatre facteurs que le Statement of Additional Information donne pages 39 et 40 pour cadrer la sensibilité des rendements composés (durée de détention, volatilité du benchmark, sens du multiple, niveau de levier). C’est le mécanisme que les facteurs mesurent, pas un facteur qu’ils énumèrent.
Exercice clos le 31 mai 2026 : environ 13,4 points au-dessus, environ 50,3 points au-dessous
Ce que le rapport annuel publie. Le rapport annuel du fonds pour l’exercice clos le 31 mai 2026 affiche un rendement total de 142,72 % et une corrélation statistique quotidienne moyenne supérieure à 0,99 avec trois fois le rendement de l’indice. Sur la même période, l’indice affiche 43,09 % de rendement total et 16,13 % de volatilité, sans que le document écrive selon quelle convention cette volatilité est calculée.
Ce que la méthode interprète. Je cite cette corrélation parce qu’elle est publiée dans la même phrase que la performance et que la couper reviendrait à choisir mon extrait. Mais je ne lui fais pas dire que le multiple quotidien a été atteint : une corrélation mesure le co-mouvement de deux séries de variations, pas leur rapport d’échelle. Un fonds qui rendrait 2,7 fois l’indice chaque jour afficherait la même. Je n’ai pas au dossier l’écart de suivi quotidien qui, lui, répondrait à la question.
Ce que les données établissent, mon calcul. Trois fois la performance de l’indice donne 129,27 %, et le fonds se situe environ 13,4 points au-dessus. Le rendement brut de l’indice élevé au cube donne 192,97 %, et le fonds se situe environ 50,3 points au-dessous. Une réserve de méthode, puisque je viens d’en faire un point d’honneur : les deux rendements dont ces écarts dérivent sont publiés arrondis au centième de point, là où ceux de 2022 le sont en dollars. Ces deux écarts ne sont donc déterminés qu’au dixième de point près, et l’élévation au cube amplifie encore cette indétermination. Les écrire 13,45 et 50,25 afficherait une précision que le document ne porte pas. Ici non plus, je n’attribue ces écarts à aucune cause, et un exercice ne fait pas une série.
Ce que la méthode interprète. Je ne mets pas non plus les deux périodes bout à bout. Elles ne se recouvrent pas, et les deux séries ne sont pas construites de la même façon : celle de 2022 se lit en dollars sur une base de 10 000, sur année civile, quand celle-ci est un rendement total publié sur un exercice clos le 31 mai. L’émetteur écrit du reste, dans la section de performance qui porte ces chiffres, que ses calculs de rendement supposent le réinvestissement des distributions et ne tiennent pas compte de la fiscalité du porteur. Ce sont deux constats séparés, pas une tendance en deux points.
Un mot sur le vocabulaire
Ce que les auteurs écrivent. Un article de Cheng et Madhavan est paru sur ces produits au Journal of Investment Management, volume 7, numéro 4, en 2009, pages 43 à 62. Les deux auteurs y signent sous l’affiliation Barclays Global Investors, N.A.
Ce qu’ils écrivent au sujet du facteur qui décroît avec la volatilité tient en deux désignations descriptives. Ils appellent ce facteur « the return scalar », et ils appellent « the performance drag » l’effet correspondant. La phrase où les deux expressions figurent ensemble, page 56, s’imprime ainsi :
« But while levered products can yield less than x times the index return, their volatility is exactly x times that of the index. From a long-run equilibrium perspective, the performance drag is most problematic for inverse ETFs and products based on volatile underlying indexes, as the return scalar also decreases with σ. »
Mon relevé dans le texte publié. Ni « volatility decay » ni « beta slippage » n’y figurent. Sur les vingt pages, figures exclues, « decay » compte zéro occurrence, « beta » zéro, et « slippage » deux, employé au sens de l’exécution. Ces deux termes circulent largement, ils sont même dans les mots-clés par lesquels vous êtes peut-être arrivé ici, mais ce ne sont pas les leurs.
Ce que les auteurs écrivent. La règle qu’ils énoncent en conclusion, page 60, est celle-ci :
« Generally, the greater the holding period and the higher the daily volatility, the greater the deviation between the leveraged ETF’s return and a statically levered position in the same index. »
Cette phrase énonce une amplitude. Elle ne donne aucun signe à la déviation. C’est une nuance qui compte : une déviation d’amplitude n’est pas une perte.
Ce que je ne peux pas vous chiffrer
Ce que le prospectus du produit annonce. Les frais affichés du fonds sont de 0,75 % de gestion et 0,22 % d’autres frais, soit 0,97 % avant renonciation, ramenés à 0,82 % par une renonciation contractuelle de 0,15 % qui court jusqu’au 30 septembre 2026. Ce 0,82 % n’est ni un ratio permanent, la renonciation étant datée, ni un coût total de détention.
Il ne l’est pas parce que ProShares l’écrit :
« The Fund pays transaction and financing costs associated with the purchase and sale of securities and derivatives. These costs are not reflected in the table or the example above. »
Le tableau et l’exemple ne les chiffrent pas, et je n’avancerai aucun montant.
Ce que le rapport annuel publie. Le montage du levier est documenté dans son mécanisme : au 31 mai 2026, l’exposition de marché du fonds se répartit en 30 % de titres de capital, 257 % de swaps longs sur le Nasdaq-100 et 13 % de futures, soit 300 % de l’actif net. Ce sont des expositions notionnelles, trésorerie et équivalents exclus par définition, pas une allocation d’actifs.
Ce que le prospectus du produit annonce. Sur le coût de ce montage, le prospectus résumé écrit ceci, page 4, sans chiffre : « The cost of obtaining this leverage will lower your returns. » Aucun des documents ProShares cités ici ne nomme le taux de référence public auquel ce coût serait indexé, ni n’en isole le montant dans le compte du fonds. Je n’en tire donc aucun coût total de détention comparable à celui d’un ETF indiciel classique.
Ce que le prospectus du produit annonce. Le prospectus résumé affiche par ailleurs « Worst Quarter (ended 6/30/2022): -58.60% ». C’est le plus mauvais trimestre de la période affichée dans ce document. Ce n’est pas une perte maximale du produit.
Faire varier la trajectoire soi-même
Ce que ce simulateur calcule, et ce qu’il suppose. Le simulateur ci-dessous ne mobilise pas la forme fermée des tableaux. Il fait varier l’indice d’un même pourcentage en alternance, hausse puis baisse, sur le nombre de séances choisi, applique exactement le multiple retenu à chaque séance, et compare le résultat au simple multiple de la performance cumulée de l’indice. Il suppose donc une trajectoire régulière qu’aucun marché ne suit, et il neutralise les frais du fonds comme le coût de financement du levier. Il montre le mécanisme, il ne chiffre aucun produit réel.
Simulateur : beta slippage d'un ETF à levier
Réglez l'amplitude de la variation quotidienne et le nombre de séances en dents de scie (une hausse, une baisse, en alternance). Comparez la performance cumulée de l'indice à celle d'un ETF à levier constant sur la même période.
Illustration mathématique simplifiée, pas une donnée de marché observée. Le mécanisme (recomposition quotidienne du levier) est documenté par Cheng & Madhavan (2009). Cette simulation suppose une alternance régulière hausse/baisse qui n'existe sur aucun marché, et elle neutralise les frais du fonds comme le coût de financement du levier : elle montre le mécanisme, elle ne chiffre aucun produit réel.
Mes réserves
- Les tableaux que je reprends sont publiés par ProShares, c’est-à-dire par une partie prenante qui décrit son propre produit. Ils sont hypothétiques par construction, l’émetteur écrivant lui-même qu’ils ne représentent pas des performances réalisées, et ils neutralisent les dividendes, les frais et le coût de financement. Ils montrent l’ampleur du mécanisme, ils ne prédisent aucune performance.
- Les deux performances de 2022 viennent d’une table que l’émetteur construit lui-même. Elle est déposée auprès du régulateur, ce qui l’engage, mais elle reste calculée par la partie qui commercialise le produit, et je n’ai pas de série de cotations indépendante pour la contredire.
- Les écarts de 18,10 et 9,95 points n’isolent aucune cause. Ils agrègent au minimum les six facteurs que l’émetteur énumère, l’écart entre la trajectoire réelle de 2022 et la volatilité constante que suppose la forme fermée, les frais et le coût de financement. Je n’ai aucune donnée de financement pour 2022 dans les documents que j’ai atteints.
- Je n’ai pas au dossier la volatilité de l’indice sur 2022 mesurée selon la convention que les tableaux emploient. Je ne peux donc pas appliquer la forme fermée à cette année-là et voir ce qu’elle en restitue. C’est la vérification qui manque le plus à cet article.
- Je n’ai pas pu ouvrir la version working paper du papier de Cheng et Madhavan : ma bibliographie la citait, et la page qui l’héberge refuse l’accès. Tout ce que je cite d’eux vient de la version publiée par la revue, et mes numéros de page sont ceux de cette version, pas de l’autre.
- Les états financiers annuels des ProShares Geared Funds publient, contrepartie par contrepartie, le taux flottant payé sur chaque swap à la clôture de l’exercice. Ce document ne figure pas dans ma bibliographie, faute d’adresse stable pour le citer, et je ne fais donc porter aucun chiffre de financement à cette page.
- Les quatre pages nommées en ouverture ne figurent pas en bibliographie et ne portent aucun tier d’indépendance. Je ne leur fais rien établir : elles situent le sujet, elles ne soutiennent aucune de mes affirmations.
- Le constat de 2022 porte sur une seule année civile, et celui de 2026 sur un seul exercice. Aucun des deux ne prétend établir une moyenne stable de l’écart annuel de TQQQ.
Ce qui sauverait l’angle de cette page, isoler dans les 9,95 points d’écart la part des frais et celle du coût de financement, demande des données que ces documents ne contiennent pas pour 2022.
Ce que ça change
Si je devais retenir une seule chose de ces documents, ce serait celle-ci. Demander à ce fonds s’il a rendu trois fois l’indice, ce n’est pas interroger la grandeur que ses tableaux d’estimation donnent. Sur un an, leurs valeurs se retrouvent exactement, à l’arrondi de publication près, à partir du rendement brut de l’indice élevé au cube, corrigé d’un facteur qui ne dépend que de la volatilité de l’indice. La colonne 3x figure dans le même tableau, en repère.
Et sur l’année civile 2022, mesurée entièrement sur la source primaire sans passer par un cours de bourse, le fonds a fait 18,10 points de mieux que trois fois l’indice, et 9,95 points de moins que l’indice au cube. Cela ne dit rien de ce que fera l’année prochaine, et ne s’attribue à aucune cause identifiable dans ce dossier. Cela dit seulement que deux références de comparaison coexistent dans les documents de l’émetteur, et que sur cette année-là elles ne donnent pas le même signe.
Concrètement, détenir un ETF à levier au-delà d’une seule séance suppose d’évaluer la volatilité attendue du sous-jacent, pas seulement sa direction anticipée. Le prospectus ne l’interdit pas. Il fournit le tableau qui montre l’ampleur du mécanisme, dividendes, frais et coût de financement mis à part, et ce tableau devrait se lire avant l’achat, pas après.
Retour au dossier ETF. Voir aussi ETF inverse (bear) sur un indice flat mais volatil : l’érosion joue même sans effet de levier.
ISP-F16/100· 0-30 % · Preuves très limitées · Six entrées en bibliographie, dont cinq sont des documents d'un seul émetteur sur son propre fonds : prospectus résumé, prospectus statutaire, Statement of Additional Information, rapport annuel, et ce même rapport annuel déposé au formulaire N-CSR. Elles ne sont pas indépendantes les unes des autres, et ce sont elles qui portent tout ce que cette page recalcule : les 390 cellules des deux tableaux d'estimation, les quatre valeurs en dollars de fin 2021 et de fin 2022, les rendements de l'exercice clos le 31 mai 2026. La sixième entrée, Cheng et Madhavan (Journal of Investment Management, 2009), est indépendante de cet émetteur, et son équation 27 donne le rendement total d'un produit à levier comme le rendement brut de l'indice élevé à la puissance x, multiplié par le scalaire exp((x - x²)σ²t/2) ; elle ne porte aucune valeur des tableaux et ne mesure aucun fonds réel. Les tableaux n'en mesurent pas davantage : ProShares écrit qu'ils ne représentent pas des performances réalisées, et qu'ils neutralisent dividendes, frais du fonds et coût du levier. Les deux entrées indépendantes l'une de l'autre ne peuvent donc ni se confirmer ni se contredire sur une grandeur observée, ce qui est le troisième cas où la convergence ne se mesure pas. Le type de preuve retenu est celui de la simulation ou de l'épisode unique : une grille de sensibilité hypothétique, une année civile et un exercice, sans population de contrôle ni validation hors échantillon. La réplication est nulle, aucune série de cotations indépendante ne venant recouper les valeurs de l'émetteur. L'axe puissance se note sur les unités observées, et ce sont ici un fonds, un indice, une année civile et un exercice.
L'Indice de solidité des preuves évalue la base empirique de cette analyse sur quatre critères pondérés : type de preuve (40 %), convergence (30 %), réplication (20 %), puissance (10 %). L'axe type de preuve est calibré par champ : 100 y désigne le meilleur dispositif que l'échelle ISP-F sache produire, et non une preuve absolue.
Six entrées en bibliographie, dont cinq sont des documents d'un seul émetteur sur son propre fonds : prospectus résumé, prospectus statutaire, Statement of Additional Information, rapport annuel, et ce même rapport annuel déposé au formulaire N-CSR. Elles ne sont pas indépendantes les unes des autres, et ce sont elles qui portent tout ce que cette page recalcule : les 390 cellules des deux tableaux d'estimation, les quatre valeurs en dollars de fin 2021 et de fin 2022, les rendements de l'exercice clos le 31 mai 2026. La sixième entrée, Cheng et Madhavan (Journal of Investment Management, 2009), est indépendante de cet émetteur, et son équation 27 donne le rendement total d'un produit à levier comme le rendement brut de l'indice élevé à la puissance x, multiplié par le scalaire exp((x - x²)σ²t/2) ; elle ne porte aucune valeur des tableaux et ne mesure aucun fonds réel. Les tableaux n'en mesurent pas davantage : ProShares écrit qu'ils ne représentent pas des performances réalisées, et qu'ils neutralisent dividendes, frais du fonds et coût du levier. Les deux entrées indépendantes l'une de l'autre ne peuvent donc ni se confirmer ni se contredire sur une grandeur observée, ce qui est le troisième cas où la convergence ne se mesure pas. Le type de preuve retenu est celui de la simulation ou de l'épisode unique : une grille de sensibilité hypothétique, une année civile et un exercice, sans population de contrôle ni validation hors échantillon. La réplication est nulle, aucune série de cotations indépendante ne venant recouper les valeurs de l'émetteur. L'axe puissance se note sur les unités observées, et ce sont ici un fonds, un indice, une année civile et un exercice.
- L'écart entre le rendement annuel d'un fonds à levier x3 et le rendement brut de son indice élevé au cube serait calculé sur la population complète des fonds à levier x3 cotés, fonds liquidés et radiés compris, à partir de séries de valeur liquidative et de clôtures d'indice qu'un lecteur peut se procurer, au lieu d'un fonds unique observé sur deux périodes.Une équipe académique ou un fournisseur de données de marché disposant des historiques de valeur liquidative, radiations comprises · personne ne l’a produit
- La volatilité de l'indice serait calculée, pour chaque période observée, selon la convention écrite pages 39 et 40 du Statement of Additional Information, soit l'écart-type du logarithme naturel de un plus le rendement quotidien de la référence, annualisé sur 252 séances, de sorte que la forme fermée s'applique aux années réelles et non seulement aux hypothèses de la grille.Toute équipe disposant des séries de clôtures quotidiennes du Nasdaq-100 · personne ne l’a produit
- Le coût de financement du levier et les coûts de transaction du fonds seraient publiés période par période, de sorte que l'écart constaté se décompose au lieu d'agréger au minimum les six facteurs que l'émetteur énumère.ProShares, dans ses documents d'enregistrement ou ses dépôts auprès de la Securities and Exchange Commission · existe, mais n’est pas consultable
Ce dispositif porterait l'indice à 28 sur 100, dans le palier « Preuves très limitées ». Les trois autres axes restent à leur valeur actuelle : un dispositif ne fait monter ni la convergence d'une littérature ni sa réplication.
Score de 16/100 (0-30 %) établi le 18 septembre 2026.
I source primaire indépendante · S secondaire spécialisée · P partie prenante ayant un intérêt commercial sur le sujet traité.
Lexique
- Beta slippage· Volatility decay↗
- Écart entre la performance cumulée d'un ETF à effet de levier ou inverse sur plusieurs jours et N fois la performance cumulée de l'indice sous-jacent, causé par la recomposition quotidienne du levier et amplifié par la volatilité.
Modification apportée · mis à jour le 19 septembre 2026
- Méthode de correction changée : je ne corrige plus contre l'avis d'un relecteur, qui change à chaque passage, mais contre une liste fixe de ce que mes sources autorisent, établie par des lecteurs qui n'avaient pas mon texte sous les yeux. - Source Cheng et Madhavan : la page SSRN que je citais refuse l'accès. J'ai lu la version publiée par la revue, récupérée dans une archive du web, et toutes mes pages sont désormais celles de cette version. J'ai retiré une citation qui ne correspondait pas à ce qui y est imprimé, et une phrase où j'affirmais que les auteurs ne donnaient aucun nom au facteur de trajectoire, ce que le texte contredit. - Calcul 2022 refait sur une autre base : je le menais sur des cours relevés chez un agrégateur, en prenant un fonds coté pour approximation de l'indice. ProShares publie les deux valeurs dont j'ai besoin dans son rapport déposé auprès du régulateur américain. Mes deux écarts valent 18,10 et 9,95 points, et l'article ne dépend plus d'aucune source de cours secondaire. - Direction du rapprochement retirée, y compris du sous-titre : j'affirmais que le tableau de l'émetteur applique le modèle académique. Je n'en sais rien, aucun des documents que j'ai atteints n'expose la méthode de calcul de l'émetteur. Ce que je garde est l'identité arithmétique entre les cellules publiées et la forme fermée. - Chiffres retirés faute de convention publiée : deux écarts-types que j'avais calculés moi-même, et un ratio de frais d'exercice que je ne peux pas rattacher à une lecture stable. - Renvois de pages corrigés : mes numéros venaient d'un lecteur de PDF, pas des folios imprimés. Les documents portent un supplément en tête, d'où deux pages d'écart. - Adresse ajoutée aux cinq citations ProShares, qui n'en portaient aucune. J'ai rouvert les cinq documents à ces adresses et recontrôlé les deux tableaux reproduits dans le corps, cellule par cellule : concordance intégrale avec ce qui est imprimé aujourd'hui. - seoTitle corrigé : « mesurée » devient « estimée », pour rester dans le même registre que le titre et le corps, qui portent sur un tableau hypothétique et non sur une performance observée. - Tier d'indépendance de l'entrée Cheng et Madhavan aligné sur ce que ma propre note de convergence dit d'elle et sur ce que ma fiche de source établit : une revue à comité de lecture, extérieure à l'émetteur dont je recalcule les tableaux. L'affiliation Barclays des deux auteurs reste dite, et elle joue contre leur conclusion, pas pour elle. - Coût du levier : mon affirmation d'absence portait sur tous les documents de l'émetteur, alors qu'elle ne vaut que pour ceux que je cite. Elle est ramenée à ce périmètre, et l'existence de taux flottants dans les états financiers du fonds passe en réserve. Je revendiquais de mesurer la volatilité sur des données de prix réelles là où d'autres la supposent, et je ne peux plus le revendiquer : les cours sur lesquels je m'appuyais venaient d'un agrégateur que je n'ai pas pu rejouer. J'ai retiré ce calcul plutôt que de le défendre, et retiré du chapô la revendication d'exclusivité. Ce que je mesure désormais se lit sur deux dates de début et de fin d'année, pas sur une série de clôtures quotidiennes. Restent deux erreurs corrigées : j'attribuais à Cheng et Madhavan un effet de la fréquence de rebalancement que leur texte ne soutient pas, et j'affirmais qu'ils ne donnaient aucun nom au facteur de volatilité, alors qu'ils l'appellent « the return scalar », page 56. J'ai enfin coupé deux passages plutôt que de les réécrire : celui qui situait ma propre volatilité entre deux colonnes du tableau de ProShares pour suggérer que l'émetteur corroborait mon écart, alors que sa colonne de repère compare le fonds à trois fois l'indice quand mes 9,95 points se mesurent contre l'indice élevé au cube ; et la phrase mise en exergue avant le simulateur, qui présentait comme une identité un résultat ne valant qu'à frais nuls et à coût de financement nul.
Développe une méthode d'analyse destinée à distinguer ce que les preuves établissent, ce qu'elles suggèrent et ce qu'elles ne permettent pas de conclure, puis à traduire cette distinction en décisions professionnelles.
Choix du sujet, direction de la rédaction, validation ou modification des sources, validation et retravail du texte et des illustrations : Axel Morel. Rédaction, choix des sources initiales et plan de rédaction initial : assistance IA.
Responsabilité éditoriale : Axel Morel. Recherche et rédaction assistées par IA selon la méthodologie Probans, sources vérifiées avant publication. Charte éditoriale.
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