Mutualiser davantage aide-t-il encore quand les risques sont corrélés ?

Oui, mais moins, et pas dans tous les cas simulés. Dans le modèle d’assureur de Kousky et Cooke (2012), passer de polices indépendantes à des polices de corrélation moyenne 0,04 fait monter le multiplicateur de 1,51 à 2,17 pour 100 polices lognormales. Avec une dépendance de queue imposée, il atteint 3,7 et ne baisse plus de 100 à 200 polices. Ce sont des sorties de simulation, calées librement sur les sinistres d’inondation d’un comté de Floride, et l’article ne traite pas le climat comme variable.

1. Un modèle simple, pas une mesure de marché. Le multiplicateur est le rapport entre le capital couvrant le 99e centile de la perte agrégée et la perte espérée, sans frais de commercialisation ni rémunération des fonds propres. Les auteurs qualifient leur modèle de « very simple ».

2. Sans dépendance de queue, une corrélation de 0,04 réduit le bénéfice de la mise en commun sans l’annuler ; avec, il disparaît. Pour des lognormales, de 100 à 200 polices, le multiplicateur passe de 1,51 à 1,34 si elles sont indépendantes, de 2,17 à 2,10 si elles sont corrélées à 0,04 sans dépendance de queue ; il reste à 3,7 avec.

3. La dépendance de queue est imposée, non mesurée. Elle est produite par une copule de Gumbel. Le multiplicateur lognormal vaut alors 3,7 à 100 comme à 200 polices ; le chiffre Pareto correspondant est instable d’une simulation à l’autre.

Un article de simulation, pas une étude de sinistres

L’article est signé de Carolyn Kousky et Roger Cooke, de Resources for the Future (Washington). Il a paru dans The Geneva Papers on Risk and Insurance en 2012 (37, 206-227). Il présente un modèle d’assureur sous contrainte de solvabilité et un modèle de décision du ménage. Ses multiplicateurs sont des sorties de simulation. Le financement déclaré est une bourse de la NSF. Le texte lu est un PDF de 22 pages à la pagination de la revue.

La thèse est écrite au mode du possible : la décision de renoncer à l’assurance catastrophe « may be quite rational ». Les auteurs qualifient leur modèle de « very simple » (f. 224) et d’« overly simple » (f. 220), et leurs résultats de « simple simulation results » (f. 213).

L’article définit les « catastrophic risks » par des pertes sévères occasionnelles et par la dépendance. Il retient trois caractéristiques des lois de pertes : les queues épaisses, les micro-corrélations et la dépendance de queue (f. 206-207). La corrélation spatiale est l’une des formes de dépendance qu’il traite, à côté des deux autres.

La corrélation spatiale : énoncée sans chiffre

L’article écrit que les risques catastrophiques tendent à être spatialement corrélés. En pratique, cette corrélation décroît avec la distance entre polices. Quand elle tombe à zéro, elle permet à l’assureur de diversifier en détenant des polices dans des régions différentes. Mais « close to zero » ne compte pas comme zéro pour les bénéfices de la diversification (f. 207).

Ces phrases ne portent aucun appel de note et l’article ne chiffre aucune relation entre distance et corrélation. Le mot « distance » n’apparaît qu’une fois dans le texte, à cet endroit.

Les auteurs appellent micro-corrélations de petites corrélations moyennes positives entre risques, qui peuvent avoir un grand effet lorsque ces risques sont agrégés : la corrélation entre agrégats de variables faiblement corrélées « balloons » (f. 207-208). La note 10 écrit que la corrélation entre deux portefeuilles de N polices tend vers 1 quand N tend vers l’infini.

D’où vient la corrélation de 0,04

Les simulations retiennent une corrélation moyenne positive de 0,04 entre polices. Les auteurs écrivent l’avoir choisie parce que les sinistres d’assurance inondation aux États-Unis, au niveau des comtés, présentaient cette corrélation moyenne, d’après un travail antérieur des mêmes auteurs (Cooke et Kousky, 2010, note 5). Ils ajoutent que toute petite corrélation positive donnerait un résultat similaire (f. 209).

La note 15 (f. 210) précise que, pour qu’une corrélation entre groupes de comtés vaille 0,04, la corrélation entre polices individuelles « must be much lower ». La valeur 0,04 est donc rapportée à des comtés américains et à l’inondation. L’article la reprend d’un travail antérieur, il ne la mesure pas.

Le modèle et son multiplicateur

La loi de perte simulée est calée « loosely » sur la distribution des sinistres annuels d’assurance inondation du comté de Broward, en Floride. Ces sinistres sont approximativement lognormaux, avec un rapport de 7 entre la médiane et le 95e centile. La médiane est normalisée à 1 et la moyenne vaut alors 2 (f. 209).

Le multiplicateur est le rapport entre le capital qui couvre le 99e centile de la perte agrégée, soit une contrainte de solvabilité de 0,01, et la perte espérée. Les auteurs écartent les frais de commercialisation et de transaction et la rémunération des fonds propres. Ils précisent que l’échelle des pertes est sans objet. La probabilité d’insolvabilité cible est prise comme exogène (f. 208-209, note 14).

La note 14 mentionne Solvabilité II au futur (« beginning in 2012 »), avec un seuil de probabilité d’insolvabilité « currently set at 0.5 per cent ». Les simulations utilisent 0,01, non ce seuil. Le calendrier et le seuil sont ceux que l’article écrit en 2012.

Pour une seule police lognormale, le capital requis au 99e centile est de 14,8 pour une perte espérée de 2, soit 7,4 fois la perte espérée. Avec 100 polices indépendantes, le capital est de 302 pour une perte espérée de 200, soit 1,51. Les auteurs écrivent que ce bénéfice de mise en commun « is what makes insurance possible » (f. 211).

Le tableau 1 : la dépendance de queue fait la différence

Le tableau 1 (f. 213) donne les multiplicateurs requis pour une contrainte de solvabilité de 0,01, pour des sommes de 100 et de 200 polices. La loi lognormale a un écart type de 3,5 et une moyenne de 2. La loi de Pareto a un indice de queue de 2 et une moyenne de 1.

Tableau 1. Multiplicateurs requis, sommes de 100 et de 200 polices. Source : article, tableau 1, f. 213. Le texte du même folio écrit 4.34 pour la cellule que le tableau donne à 4.43.

Dans ce tableau, quatre cellules dépassent 3 (3,7 ; 3,7 ; 4,43 ; 8,69). Toutes sont sur les lignes « avec dépendance de queue ».

Les auteurs lisent le tableau ainsi. Quand ils agrègent des polices indépendantes, le multiplicateur baisse toujours. Pour des lognormales micro-corrélées et sans dépendance de queue, il baisse, mais « only slightly ». Vient alors la phrase « All benefits of aggregation are lost when the policies are tail dependent ». Pour des polices à queue épaisse, simulées par des variables de Pareto, il reste un certain bénéfice ; mais si elles sont à queue épaisse et dépendantes en queue, l’agrégation exige une hausse du prix (f. 213-214). À propos des lognormales jointes par la copule de Gumbel (3,7 à 100 comme à 200 polices), le texte écrit aussi que tenir 200 polices plutôt que 100 « has no effect at all on the required price in the presence of tail dependence » (f. 213). Pour les Pareto dépendantes en queue, le tableau donne 4,43 à 100 polices (4,34 dans le texte) et 8,69 à 200, des valeurs que les auteurs disent instables.

Ces formules décrivent les configurations du tableau 1 : deux lois, trois hypothèses de dépendance, des sommes de 100 et de 200 polices.

Tableau 2. Variation du multiplicateur de 100 à 200 polices, calculée ici sur les valeurs imprimées. Les auteurs n’écrivent pas ces pourcentages.

Deux limites que les auteurs écrivent eux-mêmes

La dépendance de queue est imposée aux variables par la copule de Gumbel : « Tail dependence can be imposed on variables by using copulas ». Les simulations précédentes utilisent la copule normale, « which has no tail dependence » (f. 212).

Les variables de Pareto simulées ont une variance infinie. Les valeurs empiriques sont donc instables, et les chiffres Pareto peuvent changer substantiellement avec d’autres graines aléatoires (note 18, f. 214). Les 8,69, 4,34 et 4,43 ne se citent pas comme des valeurs stables.

La figure 2 : un multiplicateur qui monte vite, sans valeur imprimée

La figure 2 simule un portefeuille de 10 000 polices, chacune avec une probabilité annuelle de 0,01 d’une perte de 10 000 unités. La corrélation moyenne entre polices va de 0 à 0,05. Le texte écrit que le multiplicateur augmente « fairly quickly » pour de faibles hausses de la corrélation moyenne (f. 210).

Aucune valeur de la courbe n’est écrite dans le texte, et cette pièce n’en lit aucune sur la figure. La légende parle de « 10,000 normal variables », le texte de pertes tout-ou-rien : les deux descriptions coexistent sans être rapprochées par l’article.

Ce que l’article rapporte d’autres travaux

Une étude du Risk Management and Decision Processes Center de Wharton (Kunreuther et al., 2009, note 17) a trouvé des primes de cinq à dix fois la perte espérée pour des catastrophes de grande ampleur. Les auteurs précisent que ce résultat porte sur des assureurs très concentrés en Floride et « is not broadly applicable » (f. 213).

Sheremet et Lucas (2008) ont trouvé une dépendance de queue entre les rendements boursiers des marchés d’assurance de différentes régions du monde. Pour Europe-Amérique et Europe-Australie/Asie, environ 60 % de cette dépendance est due à des pertes corrélées plutôt qu’à la corrélation des portefeuilles de placement. Ce pourcentage est plus élevé pour Amérique-Australie/Asie. Ces auteurs trouvent aussi « some evidence » d’une dépendance croissante dans le temps, « potentially from climate change », et beaucoup moins de corrélation entre les marchés américains et australiens-asiatiques (f. 222).

Kousky et Cooke concluent au conditionnel : si les grandes pertes tendent à être corrélées à l’échelle du globe, cela sapera fondamentalement la capacité des assureurs et réassureurs à diversifier le risque de catastrophe naturelle (f. 222).

Dans un passage sur les catastrophes qui touchent plusieurs branches d’un même assureur, l’article écrit que la dépendance de queue « has been observed for lines of insurance covering over 700 storm events in France », avec renvoi à Lescourret et Robert (2006). L’article ne rapporte aucun chiffre de dépendance pour la France.

Le climat n’est pas une variable de l’article

Le mot « climate » n’apparaît que deux fois dans le texte de l’article : dans le compte rendu de Sheremet et Lucas (f. 222) et dans la notice biographique de C. Kousky (f. 227). Aucun calibrage n’est européen : les termes « Europe » et « European » n’y figurent que dans une note sur Solvabilité II, dans des libellés de paires de marchés et dans un titre d’ouvrage cité en bibliographie. Ces comptes portent sur le texte des 22 pages, hors contenu des figures.

Ce que l’article dit de la diversification

Les multiplicateurs « can, of course, be decreased somewhat with appropriate diversification » (f. 221). Selon les auteurs, certaines entreprises s’appuieront sur la diversification entre régions et branches, d’autres sur la réassurance, d’autres encore sur des filiales dans des zones à risque élevé.

Ils écrivent que la diversification entre lignes de produits et régions géographiques « can improve management of catastrophe risk if done appropriately ». Ils placent hors du champ de l’article l’arbitrage des entreprises sur le degré et la manière de diversifier (f. 222).

Leurs résultats « simply caution against simple assumptions that policies or lines of business are not correlated, since low correlations can still be critical ». Ils suggèrent d’estimer la dépendance de queue possible et l’épaisseur de la queue de la perte agrégée avant de décider où accroître les portefeuilles (f. 222). Ils écrivent aussi que des corrélations sous un seuil de significativité statistique peuvent rester problématiques (f. 221).

Côté ménage : ce que le modèle dit de la demande

Dans le modèle du ménage, pour une aversion au risque de 2, une assurance à multiplicateur 3 est attractive si 76 % du patrimoine est exposé (probabilité de 0,1), et entre 68 % et 96 % pour une probabilité de 0,01 (f. 217). Le ménage averse au risque ne paie guère plus que « a couple times » la perte espérée, et cela quand une très grande part du patrimoine est exposée.

Les auteurs écrivent que, « in these situations », aucun effort d’éducation ou de sensibilisation n’augmentera la demande. Ils ajoutent que la situation sera aggravée par les biais bien documentés dans l’évaluation des risques de faible probabilité (f. 220).

Ils écrivent aussi que la priorité pour traiter les risques catastrophiques devrait être la prévention : « We believe that the biggest priority […] should be mitigation » (f. 223). C’est une position qu’ils déclarent, non un résultat chiffré de l’article.

Ce qu’un lecteur qui doit décider peut en faire

Citer les multiplicateurs comme des sorties d’un modèle simple, dont la loi lognormale est calée sur les sinistres d’inondation d’un comté de Floride et la loi de Pareto fixée à un indice de queue de 2 et une moyenne de 1, hors frais et hors rémunération du capital. Ne pas les convertir en montant de prime.

Citer la corrélation de 0,04 avec son adresse : sinistres d’inondation, comtés américains, note 15 comprise. Ne pas la présenter comme la corrélation entre deux logements voisins.

Citer « All benefits of aggregation are lost » avec son contexte : le tableau 1, deux lois, trois hypothèses de dépendance, des sommes de 100 et de 200 polices. Ne pas en faire une loi générale de la mutualisation.

Ne pas attribuer à Kousky et Cooke le « cinq à dix fois » de Wharton, le 60 % de Sheremet et Lucas, ni les 700 tempêtes françaises. Ne pas écrire que l’article établit un effet du changement climatique sur la mutualisation.

Mes réserves

• Un modèle « very simple ». Les multiplicateurs sont des sorties de simulation, non des mesures sur des portefeuilles d’assureurs réels.
• Une seule calibration. Le comté de Broward, l’inondation, une loi approximativement lognormale. Aucun calibrage européen.
• Une corrélation reprise de comtés. Le 0,04 vient de sinistres au niveau des comtés américains ; entre polices, la corrélation « must be much lower ».
• Un multiplicateur hors frais. Ni frais de commercialisation et de transaction, ni rémunération des fonds propres. Seuil de solvabilité de 0,01.
• Deux tailles de portefeuille. Les formules « always », « no effect at all » et « All benefits […] are lost » sont tenues aux configurations du tableau 1.
• Des chiffres Pareto instables et une cellule à double valeur. 4,43 dans le tableau, 4,34 dans le texte.
• Une figure sans valeur imprimée. Aucune valeur de la figure 2 n’est reprise ici.
• Des limites déclarées. Les auteurs écrivent que l’estimation de la queue est difficile quand les catastrophes sont rares, et que leur modèle simple ne traite pas des caractéristiques de l’entreprise : structure de propriété, rentabilité, taille, levier, fiscalité.
• Des travaux tiers non lus. Cooke et Kousky (2010), Kunreuther et al. (2009), Sheremet et Lucas (2008) et Lescourret et Robert (2006) ne sont connus ici que par ce que l’article en rapporte.
• Une version lue. Le texte lu est un PDF de 22 pages à la pagination de la revue.